οικονομικά μαθηματικά

Το σύνολο των μαθηματικών γνώσεων, που χρησιμοποιεί η οικονομία. Τελευταία τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται, σε συνεχώς μεγαλύτερη έκταση, στην οικονομική θεωρία και πράξη. Στην οικονομική θεωρία με τη χρησιμοποίηση μαθηματικών μεθόδων (αλγεβρικές εξισώσεις, μαθηματικά πρότυπα, μαθηματική ανάλυση) επιτυγχάνεται η απομόνωση συγκεκριμένων μελετών από σύνθετα φαινόμενα και η περαιτέρω έρευνα και ανάλυση τους. Η χρησιμοποίηση των μαθηματικών στην οικονομική επιστήμη χαρακτηρίζει ολόκληρη τάση ή σχολή, που ονομάστηκε μαθηματική και αρχίζει με το έργο του Γάλλου μαθηματικού και οικονομολόγου Αντουάν Ωγκυστέν Κουρνό (Recherches sur les principes mathema-tiques de la theorie des richesses, 1838), συνεχίζεται με τη σχολή της Λοζάνης (Βάλρα και Παρέτο), με την οριακή θεωρία, την αυστριακή σχολή κ.ά. Πολλοί σύγχρονοι οικονομολόγοι (για παράδειγμα, ο Άγγλος Χικς, οι Αμερικάνοι Σάμουελσον και Μέτζλερ, ο Ολλανδός Τινμπέργκεν, ο Νορβηγός Φρις, οι Σουηδοί Μύρνταλ και Λούντμπεργκ) χρησιμοποιούν ευρύτατα τα μαθηματικά, με τη στατιστική, την οικονομετρία, τη θεωρία των παιγνίων κ.ά. Η μεγάλη όμως χρήση, των μαθηματικών, όπως παρουσιάζεται μετά τον B’ Παγκόσμιο πόλεμο, έχει επισύρει την έντονη κριτική μιας μερίδας επιστημόνων, οι οποίοι της καταλογίζουν μονομέρεια και παραγνώριση του παράγοντας της ανθρώπινης συμπεριφοράς. Η επικράτηση των μαθηματικών στην οικονομική επιστήμη επιβάλλει στους οικονομολόγους τη γνώση και αρκετών μαθηματικών. Έτσι σήμερα ο σπουδαστής της οικονομίας πρέπει να διδάσκεται πολλά στοιχεία άλγεβρας (κλασικής και μοντέρνας), μαθηματική ανάλυση, στατιστική, θεωρία των πιθανοτήτων κ.ά. Πριν από τον B’ Παγκόσμιο πόλεμο τα οικονομικά μαθηματικά περιορίζονταν κυρίως σε ένα μικρό τμήμα της κλασικής άλγεβρας και ήταν ό,τι σήμερα θα μπορούσαμε ίσως να χαρακτηρίσουμε ως: χρηματιστικά μαθηματικά. Με αυτή τη μορφή άρχισαν την εμφάνιση τους τα ο.μ. από τα τέλη του Μεσαίωνα με την ίδρυση των πρώτων τραπεζών. Κατά τον 19o αι. η βιομηχανική πρόοδος είχε ως συνέπεια μια σημαντική πρόοδο στα ο.μ., χάρη σε νέα προβλήματα της οικονομικής ζωής, της διαχείρισης και του κράτους. Τα προβλήματα αυτά συνδέονται με την ανάπτυξη των εμπορικών και βιομηχανικών σχέσεων, με τις χρηματιστικές πράξεις των τραπεζών, του κράτους και των ιδιωτών, με τις επενδύσεις, με την ίδρυση βιομηχανιών κ.ά. θα μπορούσε να πει κανείς ότι, σε αυτό το στάδιο, τα ο.μ. μελετούν τις δυνατότητες τοποθέτησης του κεφαλαίου μέσα στον χρόνο. Η βασική έννοια, που εμφανίζεται εδώ, είναι ο τόκος. Το κεφάλαιο, που καταθέτει κανείς σε μια τράπεζα (ή που δανείζει σε κάποιον), πρέπει να δίνει στον καταθέτη τόκο. Ο τόκος πρέπει να είναι ανάλογος με το κεφάλαιο που καταθέτεται αλλά και με τη χρονική διάρκεια της κατάθεσης. Φυσικά εδώ είναι απαραίτητη μια συμφωνία για τον τόκο της νομισματικής μονάδας στη χρονική μονάδα. Έτσι εμφανίζεται η έννοια του επιτόκιου επί τοις εκατό ως του τόκου 100 νομισματικών μονάδων σε ένα έτος. Για παράδειγμα, 5% (5 τοις εκατό) επιτόκιο σημαίνει ότι 100 ευρώ σε ένα χρόνο δίνουν τόκο 5 ευρώ. Έτσι ένα κεφάλαιο Α με επιτόκιο E% σε ν έτη θα δώσει τόκο: αν τεθεί ο τόκος της μιας νομισματικής μονάδας σε ένα έτος, τότε ο τόκος θα είναι: Τ = A.i.ν και έτσι το κεφάλαιο μετά ν χρόνια θα έχει γίνει: Α · (1 + vi). Αυτή είναι η περίπτωση του απλού τόκου. Συνηθέστερα ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται σε ίσες χρονικές περιόδους, δηλαδή συμφωνείται μια χρονική περίοδος ανατοκισμού (για παράδειγμα, 1 έτος) και στο τέλος κάθε τέτοιας χρονικής περιόδου ο τόκος κεφαλοποιείται (προσθέτεται στο κεφάλαιο). Με τον τρόπο αυτόν η αύξηση του κεφαλαίου είναι ταχύτερη. Αν για παράδειγμα κεφάλαιο Α ανατοκιστεί με E% επί ν έτη, τότε θα γίνει: Α (1 + i)^ν (έχει τεθε ί,όπου E% είναι το επιτόκιο). Εδώ λοιπόν ο σύνθετος τόκος είναι: Α·(1 + i)^ν - A = Α·[(1 + i^ν-1], που είναι μεγαλύτερος από τον απλό τόκο στο ίδιο χρονικό διάστημα. Αν η περίοδος ανατοκισμού γίνεται διαρκώς και μικρότερη, φτάνουμε στην έννοια του συνεχούς ανατοκισμού. Στην περίπτωση αυτή το κεφάλαιο Α γίνεται μετά ν έτη: Ae^iv. Όπως είδαμε, ένα κεφάλαιο Α, σήμερα, θα είναι μετά ν έτη και με ετήσιο ανατοκισμό: Κ = Α (1 + i)^ν, όπου και E% το ετήσιο επιτόκιο. Γι αυτόν το λόγο ένα κεφάλαιο Κ, διαθέσιμο μετά ν έτη από σήμερα, έχει παρούσα αξία A = Κ · (1 + i)^-v. Η διαφορά Δ = Κ - Α ονομάζεται υφαίρεση. Αν Κ = 1 νομισματική μονάδα και ν = 1 έτος, τότε είναι αυτή είναι η παρούσα αξία 1 ευρώ, απαιτητής μετά 1 έτος, και ονομάζεται παράγοντας υφαίρεσης. Στο εμπόριο ορίζεται ως εμπορική υφαίρεση ενός κεφαλαίου Κ, που είναι απαιτητό μετά ν έτη από σήμερα, ο αριθμός: και χρησιμοποιείται για υπολογισμούς σε περιπτώσεις μικρών χρονικών περιόδων. Ένα άλλο κεφάλαιο των ο.μ. είναι εκείνο που αφορά τις λεγόμενες παροχές. Ένα σχετικό, από τα πιο απλά, πρόβλημα παροχής είναι εκείνο των ίσων καταθέσεων στο τέλος κάθε έτους. Αν α είναι η κατάθεση και E% το επιτόκιο, τότε μετά ν έτη το ολικό απαιτητό ποσό νομισματικών μονάδων, έστω S, θα είναι: S = α(1 + i)^v-i + α (1 + i^v-2 + ... + α (1 + i) + α = = (όπου ) η αντίστοιχη παρούσα αξία είναι: Είναι φανερό ότι είναι: S > να και S > Α. Αν η κατάθεση α γίνεται στην αρχή κάθε έτους, τότε το αντίστοιχο ολικό απαιτητό ποσό νομισματικών μονάδων είναι: S’ = (1 + i) S και η αντίστοιχη παρούσα αξία: A' = (1 + i) Α. Το πρόβλημα γίνεται πιο περίπλοκο, αν η χρονική περίοδος, που χωρίζει δυο καταθέσεις, δεν είναι η αυτή για κάθε δυο διαδοχικές καταθέσεις και αν οι καταθέσεις αυτές δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους. Στην πράξη εμφανίζονται και ακόμα πιο περίπλοκα προβλήματα. Μια άλλη περιοχή προβλημάτων είναι η σχετική με την απόσβεση ενός χρέους (χρεωλυσία). Ο συνηθέστερος τρόπος για την απόσβεση ενός χρέους Α νομισματικών μονάδων συνίσταται στην κατάθεση ίσων δόσεων, έστω από α νομισματικές μονάδες, στο τέλος κάθε έτους. Το επιτόκιο τόσο για το χρέος, όσο και για την κατάθεση α (χρεωλύσιο), λογαριάζεται το ίδιο, έστω E%. Αν η απόσβεση πραγματοποιείται σε ν έτη, τότε είναι: άρα το χρεωλύσιο είναι: (όπου ) Υπάρχουν και δύο άλλοι τρόποι απόσβεσης του χρέους, γνωστοί ως αμερικανικός και ως γερμανικός. Για τη γρήγορη επίλυση των διάφορων προβλημάτων των ο.μ. έχουν καταρτιστεί ειδικοί πίνακες.